文章責編：zhangguojuan
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在計數(shù)問題中有一類題型，讓你求第N期的數(shù)目。這類題目一方面所給選項數(shù)據(jù)較大，可見答案是個較大的數(shù)，另一方面你會發(fā)現(xiàn)要想求第N期的數(shù)目，就得順向從第1期，第2期一直推進到第N期，而沒法直接思考第N期的情況。這種情況下，我們往往要考慮歸納法了。
歸納法簡單說就是找規(guī)律，根據(jù)前N-1期呈現(xiàn)的規(guī)律，運用到第N期上從而得出答案。而規(guī)律基本有兩種，一種是遞推規(guī)律，即前N-1期經(jīng)過運算得到第N期的數(shù)值，另一種是數(shù)列規(guī)律，這N期的數(shù)值符合某種數(shù)列規(guī)律。
下面我們通過幾道題目來學習下歸納法的應用。
1. 十階樓梯,小張每次只能走一階或者兩階,請問走完此樓梯共有多少種方法?
A.55 B.67 C.74 D.89
這道題要求的是走十階樓梯，我們不可能一上來就研究十階怎么走，畢竟答案的數(shù)據(jù)很大(有選項得知)，所以我們自然的，先從前幾階入手。
| 階數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 方法數(shù) | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 |
通過前五項數(shù)字,我們?nèi)菀子^察到從第三項開始,每一項都等于前兩項之和。按照這個規(guī)律，我們就能得出答案：
| 階數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 方法數(shù) | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
所以這道題答案是D選項。
這道題就很符合我們說的歸納法的特征，直接求第N期很復雜，數(shù)很大。而這道題我們找到的規(guī)律是遞推規(guī)律，第N期=第N-1期+第N-2期。
我們再來看一道遞推規(guī)律的題目：
2. 用直線切割一個有限平面,后一條直線與此前每條直線都要產(chǎn)生新的交點,第1條直線將平面分成2塊,第2條直線將平面分成4塊,第3條直線將平面分成7塊。按此規(guī)律將平面分為22塊需：
A.7條直線 B.8條直線 C.9條直線 D.6條直線
直線分平面，給出了前3條直線的情況，我們理所當然的應該在這里尋找規(guī)律：
| 直線數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 平面數(shù) | 2 | 4 | 7 | 11 |
通過對上表的觀察我們發(fā)現(xiàn)，平面數(shù)4與2相差2，恰好是平面數(shù)4對應的直線數(shù)，后面也是同樣的規(guī)律，于是我們得到：
| 直線數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 平面數(shù) | 2 | 4 | 7 | 11 | 16 | 22 |
可見，6條直線能把平面分成22塊，答案選D。
最后我們來看一道數(shù)列規(guī)律的題目。
3. lO0張多米諾骨牌整齊地排成一列,依順序編號為1、2、3……99、100。 第一次拿走所有奇數(shù)位置上的骨牌,第二次再從剩余骨牌中拿走所有奇數(shù)位置上的骨牌,第三次再從剩余骨牌中拿走所有奇數(shù)位置上的骨牌。依此類推,請問最后剩下的一張骨牌的編號是多少?
A.32 B.56 C.64 D.88
我們把每次的剩余都列出來，從中尋找規(guī)律。第一次剩余2、4、6、8、10……50,都是2的倍數(shù);第二次剩余4、8、12……48,都是4的倍數(shù);第三次剩余8、16、32……48,都是8的倍數(shù)。依此類推：第四次剩余I6的倍數(shù);第五次剩余32的倍數(shù);笫六次剩余64的倍數(shù)。此時只剩下64,選擇C。
可見，歸納法本身并不復雜，只要找到規(guī)律即可，也不需要去驗證，是種簡單有效的解題方法。
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